≡O que é Estatística?
O que é Estatística?
A estatística estuda a recolha, organização, análise e interpretação de dados.
👉 Serve para tirar conclusões sobre um conjunto de informações.
1. POPULAÇÃO ESTATÍSTICA.
- Definição:
A população estatística é o conjunto de todos os elementos que queremos estudar.
📌 Pode incluir:
Pessoas;
Objetos;
Animais;
Dados.
📌 Exemplos:
Todos os alunos de uma escola.
Todos os habitantes de uma cidade.
Todas as peças produzidas numa fábrica.
📌 Exemplo:
Se queremos estudar a altura dos alunos de uma turma, a população são todos os alunos dessa turma.
👉 Representa o “todo” do estudo.
2. AMOSTRA
- Definição:
A amostra é um subconjunto da população.
👉 É uma parte representativa da população usada quando não é possível estudar todos os elementos.
📌 Exemplo:
Se uma escola tem 500 alunos, pode-se estudar apenas 50 alunos.
👉 Esses 50 alunos constituem uma amostra.
CÁLCULOS EM POPULAÇÃO E AMOSTRA
1. Contagens básicas
📌 Exemplo:
População: 28 alunos.
Amostra: 7 alunos.
2. Frequência relativa
\( \text{frequência relativa} = \frac{\text{frequência absoluta}}{\text{total de dados}} \)
📌 Exemplo:
\( \frac{5}{20} = 0{,}25 = 25\% \)
3. Percentagem
\( \text{percentagem} = \text{frequência relativa} \times 100 \)
📌 Exemplo:
\( 0{,}4 \times 100 = 40\% \)
4. Proporção (estimativa)
📌 Exemplo:
Se 30% da amostra prefere algo → estimamos cerca de 30% na população.
5. Média
\( \text{média} = \frac{\text{soma dos valores}}{\text{número de valores}} \)
📌 Exemplo:
\( \frac{10 + 12 + 14}{3} = 12 \)
Operação de Números Racionais
O que são números racionais?
São números que podem ser escritos na forma de fração:
\( \frac{a}{b}, \quad b \neq 0 \)
Exemplos:
\( \frac{3}{4}, -2, 0{,}5, -\frac{7}{3} \)
Valor absoluto
O valor absoluto representa a distância até zero:
\( |a| = a \) se \( a \geq 0 \)
\( |a| = -a \) se \( a < 0 \)
Exemplos:
\( |5| = 5 \)
\( |-5| = 5 \)
Simétrico
O simétrico de um número é:
\( -a \)
Exemplos:
\( 3 \rightarrow -3 \)
\( -7 \rightarrow 7 \)
Adição e subtração
Soma com mesmo sinal
Somam-se os valores e mantém-se o sinal
Exemplos:
\( 3 + 5 = 8 \)
\( -4 + (-6) = -10 \)
Soma com sinais contrários
Subtraem-se os valores e fica o sinal do número de maior valor absoluto
Exemplos:
\( 7 + (-3) = 4 \)
\( -8 + 5 = -3 \)
Soma de números simétricos
Resultado é sempre zero
\( a + (-a) = 0 \)
Exemplo:
\( 5 + (-5) = 0 \)
Subtração (diferença)
Transforma-se em soma do simétrico
\( a - b = a + (-b) \)
Exemplos:
\( 7 - 3 = 7 + (-3) = 4 \)
\( 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \)
Divisão de números racionais
Regra principal
Multiplica-se pelo inverso
\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \) Inverso de um número racional
Troca-se numerador e denominador
\( \text{Inverso de } \frac{a}{b} = \frac{b}{a}, \quad a \neq 0 \)
Exemplos:
\( \frac{3}{4} \rightarrow \frac{4}{3} \)
\( 2 = \frac{2}{1} \rightarrow \frac{1}{2} \)
Importante:
\( 0 \text{ não tem inverso} \)
Exemplo de divisão
\( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)
DICAS
✔ Sinais iguais → soma e mantém o sinal
✔ Sinais diferentes → subtrai e usa o sinal do maior valor absoluto
✔ Subtração → transforma em soma
✔ Divisão → multiplica pelo inverso
✔ Número + simétrico: \( a + (-a) = 0 \)
✔ Valor absoluto: \( |a| \geq 0 \)
Descubra mais curiosidades sobre Matemática EN 9 ano
Números Reais e Potências
1. Potências de expoente inteiro
- Regra geral:
\( a^n \) significa multiplicar 𝑎 por ele mesmo 𝑛 vezes
✔ Exemplo:
\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
- Expoente zero:
\( a^0 = 1 \), com \( a \neq 0 \)
✔ Exemplo:
\( 5^0 = 1 \)
- Expoente negativo:
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), com \( a \neq 0 \)
✔ Exemplo:
\( 2^{-3} = \frac{1}{8} \)
- Regras importantes:
\( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
✔ Exemplo:
\( 2^3 \times 2^2 = 2^5 = 32 \)
2. Notação científica
- Forma:
\( a \times 10^n \), com \( 1 \leq a < 10 \)
✔ Exemplos
\( 3000 = 3 \times 10^3 \)
\( 0{,}004 = 4 \times 10^{-3} \)
3. Números reais e dízimas
- Números reais
Incluem: inteiros, racionais e irracionais
- Dízimas
✔ Dízima finita:
\( 0{,}5 = \frac{1}{2} \)
✔ Dízima periódica:
\( 0{,}333... = \frac{1}{3} \)
4. Operações com números reais
- Ordem das operações:
Parênteses
Potências
Multiplicação e divisão
Soma e subtração
✔ Exemplo:
\( 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14 \)
Ordem, Intervalos e Aproximações
1. Relações de ordem em 𝑅
- Símbolos
\( > \), \( < \), \( \geq \), \( \leq \)
✔ Exemplo:
\( -3 < 2 \)
2. Valores aproximados:
- Arredondamento
✔ Exemplo:
\( 3{,}46 \approx 3{,}5 \)
- Truncamento
✔ Exemplo:
\( 3{,}46 \approx 3{,}4 \)
3. Intervalos de números reais
- Tipos:
\( [a, b] \)\( [a, b] \) (inclui extremos)
\( ]\( ]a, b[ \)a, b[ \) (não inclui extremos)
✔ Exemplos:
\( [1, 3] \)
\( ]1, 3[ \)
4. Interseção de intervalos:
👉 Parte comum
✔ Exemplo:
\( [1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5] \)
5. Reunião de intervalos
👉 União dos intervalos
✔ Exemplo:
\( [1, 3] \cup [2, 5] = [1, 5] \)
DICAS RÁPIDAS PARA O EXAME
✔ Expoente negativo → vira fração
✔ Notação científica → número entre 1 e 10
✔ Ordem → atenção aos sinais negativos
✔ Intervalos → colchete inclui, parênteses não inclui
✔ Interseção → parte comum
✔ Reunião → tudo junto
Introdução aos Polinómios
Monómios e Polinómios
- Monómios
Expressão com um único termo
\( 3x^2,\ -5x,\ 7 \)
- Polinómio
Soma de monómios
\( 3x^2 + 2x - 5 \)
2. Soma de polinómios
Somam-se termos semelhantes
✔ Exemplo:
\( (2x + 3) + (x + 5) = 3x + 8 \)
3. Produto de um monómio por um polinómio
Distribuir o monómio
✔ Exemplo:
\( 2x(3x + 4) = 6x^2 + 8x \)
4. Operações com polinómios
✔ Exemplo:
\( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 \)
5. Casos notáveis
- Quadrado de um binómio
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
✔ Exemplo:
\( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)
- Diferença de quadrados
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
✔ Exemplo:
\( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
6. Fatorização de polinómios
- Propriedade distributiva
\( ax + ay = a(x + y) \)
✔ Exemplo:
\( 3x + 6 = 3(x + 2) \)
- Diferença de quadrados
\( x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \)
- Quadrado de binómio
✔ Exemplo:
\( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)
Equações do 1º e 2º grau
1. Equações do 1º grau
Forma:
\( ax + b = 0 \)
✔ Exemplo:
\( 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
2. Inequações do 1º grau
✔ Exemplo:
\( 2x + 1 > 5 \Rightarrow x > 2 \)
3. Equações do 2º grau
- Forma geral
\( ax^2 + bx + c = 0 \), com \( a \neq 0 \)
- Lei do anulamento do produto
\( ab = 0 \Rightarrow a = 0 \ \text{ou} \ b = 0 \)
- Equações incompletas
✔ Exemplo:
\( x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 \)
- Equações completas
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
✔ Exemplo:
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \ \text{ou} \ x = 3 \)
4. Equações literais
Resolver em função de uma variável
✔ Exemplo:
\( ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \)
5. Sistemas de equações
✔ Exemplo:
\(
\begin{cases}
x + y = 5 \\
x - y = 1
\end{cases}
\Rightarrow x = 3,\ y = 2
\)
- Classificação:
Sistema possível e determinado (uma solução)
Sistema impossível (sem solução)
Sistema indeterminado (infinitas soluções)
DICAS RÁPIDAS PARA O EXAME
✔ Termos semelhantes → mesma parte literal
✔ Distribuir sempre corretamente
✔ Casos notáveis → memorizar fórmulas
✔ Equações → isolar incógnita
✔ Produto nulo → separar em duas equações
✔ Verificar sempre as soluções
1. Definição de função
1. Definição de função
Uma função é uma relação que associa a cada valor de 𝑥 um único valor de 𝑦
\( y = f(x) \)
👉 Para cada 𝑥, existe apenas um 𝑦
✔ Exemplo:
\( f(x) = 2x + 1 \)
Se 𝑥 = 2, então
\( f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \)
2. Domínio de uma função
É o conjunto de valores de 𝑥 que podem ser usados
\( D_f \)
✔ Exemplo:
\( f(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow x \neq 0 \)
👉 Domínio: todos os reais exceto zero
3. Conjunto de chegada (contradomínio)
É o conjunto de todos os valores possíveis de saída
\( \mathbb{R} \)
👉 Normalmente são os números reais
4. Imagem (valores que a função assume)
São os valores que realmente aparecem como resultado
✔ Exemplo:
\( f(x) = x^2 \)
👉 A imagem são apenas valores positivos ou zero
5. Variável independente e dependente
- Variável independente → valor escolhido
\( x \)
- Variável dependente → depende de 𝑥
\( y = f(x) \)
✔ Exemplo:
\( y = 3x \)
👉 Se muda 𝑥, muda 𝑦
6. Representação gráfica
É o gráfico da função no plano cartesiano
Cada ponto tem forma:
\( (x, f(x)) \)
✔ Exemplo:
\( f(x) = x + 1 \)
Pontos do gráfico:
\( (0,1), (1,2), (2,3) \)
👉 Forma uma reta
DICAS RÁPIDAS PARA O EXAME
✔ Função → cada 𝑥 tem um único 𝑦
✔ Domínio → valores possíveis de 𝑥
✔ Imagem → valores obtidos
✔ Gráfico → pontos (𝑥, 𝑓 (𝑥))
✔ 𝑥 independente, 𝑦 dependente
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