Mathematics EN 9th grade: Isometries and Vectors

translate this: 1. O que é uma isometria

Uma isometria é uma transformação que mantém as distâncias e os tamanhos.

✔A figura mantém a forma e dimensão

✔Apenas muda de posição ou orientação

2. Tipos de isometrias

Translação

É um deslocamento da figura.

Todos os pontos movem-se na mesma direção e distância.

👉 Representa-se por um vetor \( \vec{u} \)

📌 Exemplo:

Se um ponto \( A \) se desloca por \( \vec{u} \), então:

\( A' = A + \vec{u} \)

Reflexão (simetria axial)

A figura é “espelhada” em relação a uma reta.

✔Cada ponto fica à mesma distância do eixo

Rotação

A figura gira em torno de um ponto (centro).

✔Existe um ângulo de rotação

📌 Exemplo:

Rotação de \( 90^\circ \) em torno de um ponto

Reflexão deslizante

Combinação de:

✔Uma reflexão

✔Uma translação

3. Vetores

O que é um vetor

Um vetor representa:

✔Direção

✔Sentido

✔Comprimento

👉 Representa-se por:

\( \vec{u} \)

Soma de um ponto com vetor

Se temos um ponto \( A \) e um vetor \( \vec{u} \):

\( A' = A + \vec{u} \)

✔O ponto desloca-se segundo o vetor

Adição de vetores

Para somar vetores:

✔Coloca-se a origem de um na extremidade do outro

📌 Resultado:

\( \vec{u} + \vec{v} \) é o vetor que liga o início ao fim

4. Translação por vetor

Uma translação move todos os pontos segundo o mesmo vetor:

\( P' = P + \vec{u} \)

✔Todos os pontos têm o mesmo deslocamento

5. Simetrias

Simetria de reflexão

A figura é refletida num eixo.

✔Distâncias ao eixo são iguais

Simetria de rotação

A figura coincide consigo mesma após uma rotação.

📌 Exemplo:

Rotação de \( 180^\circ \)

Simetria de translação

A figura repete-se ao longo de uma direção.

Reflexão deslizante

Reflexão + translação na mesma direção

6. Rosáceas, frisos e padrões

Rosácea

Figura com simetria de rotação em torno de um ponto.

✔Exemplo: padrões circulares

Friso

Padrão que se repete numa direção.

✔Usa translações e outras simetrias

Padrão

Repetição de figuras no plano.

✔Pode envolver várias isometrias