≡Matemática EN 9.º grado: Figuras similares
1. Qué son figuras semejantes
Dos figuras son semejantes cuando:
✔ Tienen la misma forma
✔ Los ángulos correspondientes son iguales
✔ Los lados correspondientes son proporcionales
👉 Existe una razón de semejanza \( k \)
2. Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si cumplen uno de los criterios:
✔ Criterio LLL (lado-lado-lado)
Los tres lados son proporcionales:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
✔ Criterio LAL (lado-ángulo-lado)
Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) y ángulo igual
✔ Criterio AA (ángulo-ángulo)
Dos ángulos iguales:
✔ El tercero también será igual automáticamente
3. Ejemplo de semejanza
Triángulos con lados:
\( 3, 4, 5 \) y \( 6, 8, 10 \)
👉 Verificando:
\( \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{8}{4} = 2, \quad \frac{10}{5} = 2 \)
✔ Son semejantes
✔ Razón de semejanza: \( k = 2 \)
4. Razón de perímetros
El perímetro cambia en la misma razón \( k \):
\( \frac{P_2}{P_1} = k \)
Ejemplo:
Si \( k = 3 \):
✔ El perímetro se triplica
5. Razón de áreas
El área cambia con el cuadrado de la razón:
\( \frac{A_2}{A_1} = k^2 \)
Ejemplo:
Si \( k = 2 \):
✔ \( A_2 = 4A_1 \)
6. Ejemplo completo
Dos triángulos semejantes con \( k = 3 \)
✔ Si el perímetro menor es \( 10 \):
\( P_2 = 3 \cdot 10 = 30 \)
✔ Si el área menor es \( 5 \):
\( A_2 = 5 \cdot 3^2 = 45 \)
7. Interpretación importante
✔ Lados → se multiplican por \( k \)
✔ Perímetro → se multiplica por \( k \)
✔ Área → se multiplica por \( k^2 \)
8. Puntos clave para el examen
✔ Identificar triángulos semejantes
✔ Aplicar criterios LLL, LAL y AA
✔ Encontrar la razón \( k \)
✔ Relacionar correctamente perímetros y áreas
¿Lo sabías?
