Matemática EN 9 ano: Figuras Semelhantes

1. O que são figuras semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando:

✔ Têm a mesma forma

✔ Os ângulos correspondentes são iguais

✔ Os lados correspondentes são proporcionais

👉 Existe uma razão de semelhança \( k \)

2. Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se satisfazem um dos critérios:

✔ Critério LLL (lado-lado-lado)

Os três lados são proporcionais:

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)

✔ Critério LAL (lado-ângulo-lado)

Dois lados proporcionais e o ângulo entre eles igual:

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) e ângulo igual

✔ Critério AA (ângulo-ângulo)

Dois ângulos iguais:

✔ O terceiro também será igual automaticamente

3. Exemplo de semelhança

Triângulos com lados:

\( 3, 4, 5 \) e \( 6, 8, 10 \)

👉 Verificando:

\( \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{8}{4} = 2, \quad \frac{10}{5} = 2 \)

✔ São semelhantes

✔ Razão de semelhança: \( k = 2 \)

4. Razão entre perímetros

O perímetro varia na mesma razão \( k \):

\( \frac{P_2}{P_1} = k \)

Exemplo:

Se \( k = 3 \):

✔ O perímetro triplica

5. Razão entre áreas

A área varia com o quadrado da razão:

\( \frac{A_2}{A_1} = k^2 \)

Exemplo:

Se \( k = 2 \):

✔ \( A_2 = 4A_1 \)

6. Exemplo completo

Dois triângulos semelhantes com \( k = 3 \)

✔ Se o perímetro do menor é \( 10 \):

\( P_2 = 3 \cdot 10 = 30 \)

✔ Se a área do menor é \( 5 \):

\( A_2 = 5 \cdot 3^2 = 45 \)

7. Interpretação importante

✔ Lados → multiplicam por \( k \)

✔ Perímetro → multiplica por \( k \)

✔ Área → multiplica por \( k^2 \)

8. Pontos-chave para o exame

✔ Identificar triângulos semelhantes

✔ Aplicar critérios LLL, LAL e AA

✔ Encontrar a razão \( k \)

✔ Relacionar perímetros e áreas corretamente