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Matemática EN 9.º gradoApuesta a tu saber, no a la suerte

1. Relaciones de orden en 𝑅
- Símbolos
\( > \), \( < \), \( \geq \), \( \leq \)
✔ Ejemplo:
\( -3 < 2 \)
2. Valores aproximados:
- Redondeo
✔ Ejemplo:
\( 3{,}46 \approx 3{,}5 \)
- Truncamiento
✔ Ejemplo:
\( 3{,}46 \approx 3{,}4 \)
3. Intervalos de números reales
- Tipos:
\( [a, b] \)\( [a, b] \) (incluye extremos)
\( ]\( ]a, b[ \)a, b[ \) (no incluye extremos)
✔ Ejemplos:
\( [1, 3] \)
\( ]1, 3[ \)
4. Intersección de intervalos:
👉 Parte común
✔ Ejemplo:
\( [1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5] \)
9. Unión de intervalos
👉 Unión de intervalos
✔ Ejemplo:
\( [1, 3] \cup [2, 5] = [1, 5] \)
CONSEJOS RÁPIDOS PARA EL EXAMEN
✔ Exponente negativo → se convierte en fracción
✔ Notación científica → número entre 1 y 10
✔ Orden → presta atención a los signos negativos
✔ Intervalos → se incluyen los corchetes, no los paréntesis
✔ Intersección → parte común
✔ Unión → todo junto

Monomios y polinomios
- Monomios
Expresión con un solo término
\( 3x^2,\ -5x,\ 7 \)
- Polinomio
Suma de monomios
\( 3x^2 + 2x - 5 \)
2. Suma de polinomios
Se suman términos semejantes
✔ Ejemplo:
\( (2x + 3) + (x + 5) = 3x + 8 \)
3. Producto de un monomio por un polinomio
Distribuir el monomio
✔ Ejemplo:
\( 2x(3x + 4) = 6x^2 + 8x \)
4. Operaciones con polinomios
✔ Ejemplo:
\( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 \)
5. Casos notables
- Cuadrado de un binomio
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
✔ Ejemplo:
\( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)
- Diferencia de cuadrados
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
✔ Ejemplo:
\( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
6. Factorización de polinomios
- Propiedad distributiva
\( ax + ay = a(x + y) \)
✔ Ejemplo:
\( 3x + 6 = 3(x + 2) \)
- Diferencia de cuadrados
\( x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \)
- Cuadrado del binomio
✔ Ejemplo:
\( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)

1. Ecuaciones de primer grado
Forma:
\( ax + b = 0 \)
✔ Ejemplo:
\( 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
2. Desigualdades de primer grado
✔ Ejemplo:
\( 2x + 1 > 5 \Rightarrow x > 2 \)
3. Ecuaciones cuadráticas/b>
- Forma general
\( ax^2 + bx + c = 0 \), com \( a \neq 0 \)
- Ley del producto cero
\( ab = 0 \Rightarrow a = 0 \ \text{ou} \ b = 0 \)
- Ecuaciones incompletas
✔ Ejemplo:
\( x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 \)
- Ecuaciones completas
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
✔ Ejemplo:
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \ \text{ou} \ x = 3 \)
4. Ecuaciones literales
Resolver para una función de una variable
✔ Ejemplo:
\( ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \)
5. Sistemas de ecuaciones
✔ Ejemplo:
\( \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \Rightarrow x = 3,\ y = 2 \)
- Clasificación:
Sistema posible y determinado (una solución)NL# Sistema imposible (sin solución)
Sistema indeterminado (infinitas soluciones)
CONSEJOS RÁPIDOS PARA EL EXAMEN/b>
✔ Términos semejantes → misma parte literal
✔ Siempre distribuye correctamente
✔ Casos notables → memoriza las fórmulas
✔ Ecuaciones → aísla las incógnitas
✔ Producto cero → separa en dos ecuaciones
✔ Siempre verifica las soluciones

1. Definición de función
Una función es una relación que asocia cada valor de x con un valor único de y.
\( y = f(x) \)
👉 Para cada x, existe un único y.
✔ Ejemplo:
\( f(x) = 2x + 1 \)
Si x = 2, entonces
\( f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \)
2. Dominio de una función
Es el conjunto de valores de 𝑥 que se pueden usar
\( D_f \)
✔ Ejemplo:
\( f(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow x \neq 0 \)
👉 Dominio: todos los números reales excepto el cero
3. Codominio (conjunto de rango)
Es el conjunto de todos los posibles valores de salida
\( \mathbb{R} \)
👉 Generalmente son los números reales
4. Imagen (valores que toma la función)
Son los valores que aparecen como una función real Resultado
✔ Ejemplo:
\( f(x) = x^2 \)
👉 La imagen solo contiene valores positivos o cero
5. Variables independientes y dependientes
- Variable independiente → valor elegido
\( x \)
- Variable dependiente → depende de x
\( y = f(x) \)
✔ Ejemplo:
\( y = 3x \)
👉 Si x cambia, y cambia
6. Representación gráfica
Es la gráfica de la función en el plano cartesiano.
Cada punto tiene la forma:
\( (x, f(x)) \)
✔ Ejemplo:
\( f(x) = x + 1 \)
Puntos en la gráfica:
\( (0,1), (1,2), (2,3) \)
👉 Forma una línea recta
CONSEJOS RÁPIDOS PARA EL EXAMEN
✔ Función → cada x tiene un valor de y único
✔ Dominio → valores posibles de x
✔ Rango → valores obtenidos
✔ Gráfica → puntos (𝑥, 𝑓 (𝑥))
✔ x independiente, y dependiente

1. Definición de una función afín
Una función afín es una función del tipo:
\( f(x) = mx + b \)
👉 donde:
𝑚 → pendiente (inclinación de la recta)
𝑏 → ordenada en el origen
✔ Ejemplo:
\( f(x) = 2x + 1 \)
2. Representación gráfica
👉 La gráfica de una función afín siempre es una línea recta.
Cada punto tiene la forma:
\( (x, f(x)) \)
✔ Ejemplo:
\( f(x) = x + 1 \)
Puntos:
\( (0,1), (1,2), (2,3) \)
3. Línea vertical
Una línea vertical tiene la ecuación:
\( x = k \)
👉 No representa una función, porque un valor de x tiene varios valores de y.
4. Pendiente e intersección con el eje y
- Pendiente ( (m)
Indica la inclinación de la línea
𝑚 > 0 → línea creciente
𝑚 < 0→ línea decreciente
𝑚 = 0 → línea horizontal
- ordenada en el origen (b)
Es el valor de y cuando:
\( x = 0 \)
✔ Ejemplo:
\( f(x) = 2x + 3 \Rightarrow b = 3 \)
5. Determinación de la pendiente
La pendiente entre dos puntos es:
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
✔ Ejemplo:
\( (1,2) \ \text{e} \ (3,6) \)
\( m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \)
6. Ecuación de una recta
Forma general:
\( y = mx + b \)
✔ Ejemplo:
\( y = 3x - 2 \)
7. Ecuación de una recta (dado un punto y la pendiente)
Fórmula:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
✔ Ejemplo:
Punto (1,2) y pendiente m=3
\( y - 2 = 3(x - 1) \)
\( y = 3x - 1 \)
CONSEJOS RÁPIDOS PARA EL EXAMEN
✔ Función lineal → línea recta:
\( f(x) = mx + b \)
✔ 𝑚 → pendiente
✔ 𝑏 → punto donde la línea interseca el eje y
✔ Pendiente → usar dos puntos
✔ Línea vertical → no es una función
✔ Ecuación → saber cómo convertir de punto + pendiente